Alcuni infiniti sono più grandi di altri?

Le più belle prove matematiche, vol. 1, Maxime Coutte.

Come nota a margine non sono un matematico ma uno studente delle superiori - che non frequenta la scuola da un anno intero - e soprattutto un appassionato di informatica e programmatore. Detto questo, mi sono insegnato Matematica e voglio condividere la bellezza di alcune delle mie prove matematiche preferite in questa serie.

Sai contare?

Quando ci si chiede se alcuni infiniti possano essere più grandi di altri, è importante sapere cosa significa essere "più grandi" e ciò implica la definizione della numerabilità. Ne abbiamo un'idea dall'esperienza della vita reale: quando contate le mele attribuite un numero a ciascuna, a partire da 1 e incrementando di 1 ogni volta fino a quando non ci sono più mele da contare.

In altre parole, stai accoppiando ogni mela, o qualsiasi elemento di un set (o basket), con un intero positivo univoco. Pertanto possiamo definire un insieme numerabile come un insieme per il quale possiamo accoppiare ciascun elemento a un elemento univoco di N, l'insieme dei numeri naturali {0, 1, 2,. . .}.

Vale la pena notare che possiamo accoppiare ogni elemento di N, l'insieme dei numeri naturali, con ogni elemento di se stesso. Dunque N è un insieme numerabile infinito; potremmo contare ogni numero dell'elenco infinito di numeri naturali, se avessimo un tempo infinito ...

Ci sono più numeri interi che numeri naturali?

È Z, l'insieme di tutti i numeri interi {..., -2, −1,0,1,2, ...}, maggiore di N, l'insieme dei numeri naturali {0, 1, 2,. . .}? Sembra una domanda strana, vero? Ricordo ancora l'eccitazione e la gioia condivise dal mio migliore amico e da me nella scuola media quando sorprendentemente ci siamo dimostrati l'un l'altro che Z ha effettivamente le stesse dimensioni di N. Qui, il termine esatto non è in realtà "dimensione" ma " cardinalità ", che indica il numero di elementi in un insieme.

La dimostrazione è in realtà abbastanza semplice, possiamo accoppiare ogni numero negativo dell'insieme Z a un numero dispari naturale univoco e accoppiare ogni numero positivo dell'insieme Z a un numero pari univoco. Pertanto possiamo contare Z con N.

Anche se potremmo pensare che ci siano più numeri interi positivi e negativi di quanti siano solo numeri interi positivi, possiamo accoppiare ciascun elemento di Z con un elemento univoco di N.

Alcune cose che non potevi contare nemmeno con una quantità infinita di tempo,

Qui proveremo che l'insieme R di tutti i numeri reali non è numerabile e lo faremo usando l'argomento diagonale di Cantor.

Innanzitutto, supponiamo di poter elencare tutti i numeri reali tra 0 e 1,

Ad esempio, possiamo supporre,

Ora considera il numero d,

d, essendo costituito dalla diagonale della nostra lista. La prima cifra di d è la prima cifra del primo numero dell'elenco, la seconda cifra di d è la seconda cifra del secondo numero dell'elenco e così via aggiungendo le cifre in diagonale per l'intero elenco.

Quindi, per qualsiasi io,

Ad esempio, dato questo elenco,

Ora costruiamo il numero x,

tale che la i-esima cifra di x sia diversa dalla i-esima cifra di d e non sia uguale a 9, quindi

Ad esempio per d = 0,16392 ... possiamo costruire x = 0,27413 ... e continuare per ogni cifra di d poiché anche se xi ≠ di ci sono ancora 8 possibili cifre di può essere uguale a.

Ora possiamo dimostrare che x manca dall'elenco di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.

Per costruzione, la prima cifra di x è diversa dalla prima cifra di d, e la prima cifra di d è la prima cifra del primo numero dell'elenco. Quindi x non può essere il primo numero dell'elenco poiché ha una prima cifra diversa.

Per costruzione, la seconda cifra di x è diversa dalla seconda cifra di d, e la seconda cifra di d è la seconda cifra del secondo numero dell'elenco. Quindi x non può essere il secondo numero dell'elenco poiché ha una seconda cifra diversa. Questo continua per tutti i numeri nell'elenco.

In altre parole,

che per costruzione non può essere vero dal momento che,

Abbiamo dimostrato che se crei un elenco di tutti i numeri reali tra 0 e 1, x sarà sempre mancante. Questa contraddizione dimostra che l'insieme di tutti i numeri reali tra 0 e 1 è non numerabile, e quindi che R, l'insieme di tutti i numeri reali, è anche non numerabile. Non è possibile associare ciascun numero reale a un numero naturale univoco.

Ciò significa che la cardinalità di R è maggiore della cardinalità di N, quindi alcuni infiniti sono più grandi di altri.

Riferimenti, Georg Cantor. "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". 1891.

Sono Maxime Coutte, co-fondatrice di Relativty.com, una cuffia per la realtà virtuale che ho progettato da zero, di cui ho open source il codice e l'hardware. Amo imparare e sono interessato a una grande varietà di argomenti.
Puoi seguirmi su Twitter @maximecoutte.