QC - Controllo dell'elaborazione quantistica con operatori unitari, interferenza e entanglement

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Grande. Abbiamo appena terminato la parte 2 su Qubit (Quantum bit - il blocco base per il calcolo quantistico). Quindi come possiamo controllarlo? A differenza del calcolo classico, non applichiamo operazioni logiche o aritmetica comune sui qubit. Non vi è alcuna "dichiarazione while" o "dichiarazione ramificata" nel calcolo quantistico. Invece, sviluppiamo operatori unitari per manipolare i qubit con il principio dell'interferenza nella meccanica quantistica. Sembra elegante ma in realtà molto semplice. Esamineremo il concetto di operatori unitari. Come nota a margine, esamineremo il suo rapporto con l'equazione di Schrodinger, quindi non stiamo progettando un concetto contro la natura. Alla fine, esaminiamo l'entanglement, un fenomeno mistico quantistico.

Cancelli quantistici

Nei computer classici, applichiamo operatori logici di base (NOT, NAND, XOR, AND, OR) sui bit per creare operazioni complesse. Ad esempio, di seguito è riportato un sommatore a bit singolo con carry.

I computer quantistici hanno operatori di base totalmente diversi chiamati cancelli quantistici. Non ricompiliamo un programma C ++ esistente da eseguire su un computer quantistico. Entrambi hanno operatori diversi e il calcolo quantistico richiede algoritmi diversi per trarne vantaggio. Nell'informatica quantistica, si tratta di manipolare i qubit, intrappolarli e misurarli. Torniamo alla sfera Bloch. Concettualmente, le operazioni di calcolo quantistico manipolano Φ e θ della sovrapposizione per spostare punti lungo la superficie della sfera unitaria.

Parlando matematicamente, la sovrapposizione viene manipolata con un operatore lineare U sotto forma di matrice.

Per un singolo qubit, l'operatore è semplicemente una matrice 2 × 2.

Equazione di Schrodinger (opzionale)

La natura sembra ingenuamente semplice! La matematica è solo un'algebra lineare che apprendiamo al liceo. Tra le misurazioni, gli stati vengono manipolati da operatori lineari mediante la moltiplicazione della matrice. Quando viene misurata, la sovrapposizione collassa. Ironia della sorte, la linearità è una grande delusione per i fan della fantascienza. Questa è una proprietà generale della dinamica quantistica. Altrimenti, è possibile viaggiare nel tempo o viaggiare più velocemente della luce. Se iniziamo con questo operatore lineare (un operatore unitario per l'esattezza), possiamo derivare l'equazione di Schrodinger, una pietra angolare della meccanica quantistica nel descrivere come gli stati si evolvono nella meccanica quantistica. Dal punto di vista opposto, l'equazione di Schrodinger conclude la linearità della natura.

fonte

Qui, possiamo riscrivere l'equazione di Schrodinger come

dove H è un eremita. Dimostra come gli stati si sono evoluti in natura in modo lineare.

L'equazione è lineare, ovvero se sia ψ1 che ψ2 sono soluzioni valide per l'equazione di Schrodinger,

la sua combinazione lineare è la soluzione generale dell'equazione.

Se | 0⟩ e | 1⟩ sono possibili stati di un sistema, la sua combinazione lineare sarà il suo stato generale - questo è il principio di sovrapposizione nel calcolo quantistico.

Unitario

Il nostro mondo fisico non consente tutti i possibili operatori lineari. L'operatore deve essere unitario e soddisfare i seguenti requisiti.

dove U † è il coniugato complesso trasposto di U. Ad esempio:

Matematicamente, l'operatore unitario mantiene le norme. Questa è una proprietà meravigliosa per mantenere la probabilità totale uguale a una dopo la trasformazione dello stato e mantenere la sovrapposizione sulla superficie della sfera unitaria.

Se osserviamo la soluzione per l'equazione di Schrodinger di seguito, la natura obbedisce alla stessa regola unitaria. H è un eremita (il coniugato complesso trasposto di un eremita è uguale a se stesso). Moltiplicare l'operatore con il suo coniugato complesso trasposto equivale alla matrice identità.

Di seguito è riportato un esempio di H in cui esiste un campo magnetico uniforme E₀ nella direzione z.

Applicando l'operazione unitaria a | ψ⟩ si ottiene una rotazione nell'asse z.

Ma qual è il vero significato di unitario nel mondo reale? Significa che le operazioni sono reversibili. Per ogni possibile operazione, ce n'è un'altra che può annullare l'azione. Proprio come guardare un film, puoi riprodurlo in avanti e la natura consente alla sua controparte U † di riprodurre il video all'indietro. In effetti, potresti non notare se stai riproducendo il video in avanti o all'indietro. Quasi tutte le leggi fisiche sono reversibili nel tempo. Le poche eccezioni includono la misurazione in dinamica quantistica e la seconda legge della termodinamica. Quando si progetta un algoritmo quantistico, questo è molto importante. L'operazione OR esclusiva (XOR) in un computer classico non è reversibile. Le informazioni sono perse. Dato un output di 1, non possiamo distinguere se l'input originale è (0, 1) o (1, 0).

Nel calcolo quantistico, chiamiamo operatori come porte quantistiche. Quando progettiamo un gate quantico, ci assicuriamo che sia unitario, cioè ci sarà un altro gate quantico che può invertire lo stato al suo originale. Questo è importante da allora

se un operatore è unitario, può essere implementato in un computer quantistico.

Una volta provata l'unità unitaria, gli ingegneri non dovrebbero avere problemi per implementarla, almeno teoricamente. Ad esempio, i computer IBM Q, composti da circuiti superconduttori, utilizzano impulsi a microonde di diversa frequenza e durata per controllare i qubit lungo la superficie della sfera Bloch.

Per ottenere unitari, a volte produciamo parte dell'input per soddisfare questo requisito, come quello sotto anche se sembra ridondante.

Vediamo una delle porte quantistiche più comuni, la porta Hadamard che l'operatore lineare è definita come la seguente matrice.

o nella notazione di Dirac

Quando applichiamo l'operatore a uno stato up-spin o down-spin, cambiamo le sovrapposizioni in:

Se viene misurato, entrambi hanno le stesse possibilità di essere spin up o spin down. Se applichiamo nuovamente il cancello, questo torna allo stato originale.

fonte

cioè, il coniugato trasposto di Hadamard è la stessa porta Hadamard.

Quando applichiamo U U †, ripristina l'input originale.

Pertanto, la porta Hadamard è unitaria.

Il calcolo quantistico si basa sull'interferenza e l'entanglement. Anche se siamo in grado di comprendere matematicamente il calcolo quantistico senza comprendere questi fenomeni, dimostriamolo rapidamente.

interferenza

Le onde interferiscono l'una con l'altra in modo costruttivo o distruttivo. Ad esempio, l'uscita può essere ingrandita o appiattita a seconda della fase relativa delle onde di ingresso.

Qual è il ruolo dell'interferenza nell'informatica quantistica? Eseguiamo alcuni esperimenti.

Mach Zehnder Interferometer (fonte)

Nel primo esperimento, prepariamo tutti i fotoni in ingresso ad avere uno stato di polarizzazione | 0⟩. Questo flusso di fotoni polarizzati è diviso uniformemente dalla posizione del divisore di raggio B a 45 °, cioè sarà diviso il raggio in due luci polarizzate ortogonalmente ed uscirà in percorsi separati. Quindi utilizziamo gli specchi per riflettere i fotoni su due rivelatori separati e misurare l'intensità. Dal punto di vista della meccanica classica, i fotoni si dividono in due percorsi separati e colpiscono i rivelatori in modo uniforme.

Nel secondo esperimento sopra, abbiamo messo un altro divisore di raggio prima dei rivelatori. Per intuizione, i divisori di raggio funzionano indipendentemente l'uno dall'altro e dividono un flusso luminoso in due metà. Entrambi i rilevatori dovrebbero rilevare la metà dei raggi luminosi. La probabilità che un fotone raggiunga il rivelatore D usando il percorso 1 in rosso è:

La probabilità totale per un fotone di raggiungere D è 1/2 da 1 percorso o 0 percorso. Quindi entrambi i rilevatori rilevano la metà dei fotoni.

Ma ciò non corrisponde al risultato sperimentale! Solo D₀ rileva la luce. Modelliamo la transizione di stato per un divisore di raggio con un cancello Hadamard. Quindi, per il primo esperimento, lo stato del fotone dopo lo splitter è

Quando viene misurato, la metà sarà | 0⟩ e la metà sarà | 1⟩. I raggi di luce sono suddivisi uniformemente in due percorsi diversi. Quindi il nostro cancello Hadamard corrisponderà al calcolo classico. Ma vediamo cosa è successo nel secondo esperimento. Come mostrato in precedenza, se prepariamo tutti i fotoni di input in modo che siano | 0⟩ e li passiamo in due porte Hadamard, tutti i fotoni saranno di nuovo | 0⟩. Quindi, quando viene misurato, solo D₀ rileverà il raggio luminoso. Nessuno raggiungerà D₁ finché non eseguiremo alcuna misurazione prima di entrambi i rilevatori. Gli esperimenti confermano che il calcolo quantistico è corretto, non il calcolo classico. Vediamo come l'interferenza gioca un ruolo qui nella seconda porta Hadamard.

Come mostrato di seguito, i componenti della stessa base di calcolo interferiscono in modo costruttivo o distruttivo tra loro per produrre il risultato sperimentale corretto.

Possiamo preparare il fascio di fotoni di input in modo che sia | 1⟩ e ripetere il calcolo. Lo stato dopo il primo splitter è diverso da quello originale di una fase di π. Quindi, se misuriamo ora, entrambi gli esperimenti effettueranno le stesse misurazioni.

Tuttavia, quando si applica nuovamente la porta Hadamard, si produrrà | 0⟩ e si produrrà | 1⟩. L'interferenza produce possibilità complesse.

Consentitemi di fare un altro esperimento divertente che ha implicazioni molto significative nella sicurezza informatica.

Se inseriamo un altro rivelatore Dx dopo il primo splitter, l'esperimento mostra che entrambi i rivelatori rileveranno ora metà dei fotoni. Ciò corrisponde al calcolo nella meccanica quantistica? Nell'equazione seguente, quando aggiungiamo una misura dopo il primo splitter, forziamo un collasso nella sovrapposizione. Il risultato finale sarà diverso da uno senza il rivelatore aggiuntivo e corrisponderà al risultato sperimentale.

La natura ci dice che se sai quale percorso prende il fotone, entrambi i rivelatori rileveranno metà dei fotoni. In effetti, possiamo ottenerlo con un solo rivelatore in uno dei percorsi. Se non viene eseguita alcuna misurazione prima di entrambi i rivelatori, tutti i fotoni finiscono nel rivelatore D₀ se il fotone è pronto per essere | 0⟩. Ancora una volta, l'intuizione ci porta a una conclusione errata mentre le equazioni quantistiche rimangono fiduciose.

Questo fenomeno ha un'implicazione critica. La misurazione aggiuntiva distrugge l'interferenza originale nel nostro esempio. Lo stato di un sistema viene modificato dopo una misurazione. Questa è una delle motivazioni chiave alla base della crittografia quantistica. Puoi progettare un algoritmo in modo tale che se un hacker intercetta (misura) il messaggio tra te e il mittente, puoi rilevare tale intrusione indipendentemente da quanto delicata possa essere la misurazione. Perché il modello della misurazione sarà diverso se viene intercettato. Il teorema della non clonazione nella meccanica quantistica afferma che non si può duplicare esattamente uno stato quantico. Quindi l'hacker non può duplicare e rinviare anche il messaggio originale.

Oltre la simulazione quantistica

Se sei un fisico, puoi trarre vantaggio dal comportamento di interferenza nelle porte quantistiche per simulare la stessa interferenza nei mondi atomici. I metodi classici funzionano con la teoria della probabilità con valori maggiori o uguali a zero. Presuppone l'indipendenza che non è vera negli esperimenti.

Il meccanismo quantistico afferma che questo modello è sbagliato e introduce un modello con numeri complessi e negativi. Invece di usare la teoria della probabilità, usa l'interferenza per modellare il problema.

Quindi, a cosa serve il non fisico? L'interferenza può essere trattata come lo stesso meccanismo di un operatore unitario. Può essere implementato facilmente in un computer quantistico. Matematicamente, l'operatore unitario è una matrice. Man mano che aumenta il numero di qubit, otteniamo una crescita esponenziale di coefficienti con cui possiamo giocare. Questo operatore unitario (interferenza nell'occhio del fisico) ci consente di manipolare tutti questi coefficienti in un'unica operazione che apre la porta a manipolazioni di dati di massa.

aggrovigliamento

In generale, gli scienziati ritengono che senza entanglement, gli algoritmi quantistici non possano mostrare la supremazia sugli algoritmi classici. Sfortunatamente, non capiamo bene le ragioni e quindi non sappiamo come personalizzare un algoritmo per sfruttare appieno il suo potenziale. Questo è il motivo per cui l'entanglement viene spesso menzionato quando si introduce il calcolo quantistico ma non molto dopo. Per questo motivo, spiegheremo cosa è l'entanglement in questa sezione. Spero che tu sia lo scienziato a violare il segreto.

Considera la sovrapposizione di un 2 qubit.

dove | 10> significa che due particelle sono rispettivamente in una rotazione in basso e in una rotazione in alto.

Considera il seguente stato composito:

Possiamo dividere lo stato composito in due stati individuali come,

Non possiamo perché richiede:

La meccanica quantistica dimostra un concetto non intuitivo. Nella meccanica classica, crediamo che la comprensione dell'intero sistema possa essere fatta comprendendo bene ogni sottocomponente. Ma nella meccanica quantistica,

Come mostrato in precedenza, possiamo modellare lo stato composito e fare previsioni di misurazione perfettamente.

Ma non possiamo descriverlo o comprenderlo come due componenti indipendenti.

Immagino questo scenario come una coppia sposata da 50 anni. Saranno sempre d'accordo su cosa fare ma non è possibile trovare le risposte quando vengono trattate come persone separate. Questo è uno scenario eccessivamente semplificato. Ci sono molti possibili stati di entanglement

e sarà molto più difficile descriverli quando aumenta il numero di qubit. Quando eseguiamo operazioni quantistiche, sappiamo come i componenti sono correlati (impigliati). Ma prima di qualsiasi misurazione, i valori esatti rimangono aperti. L'entanglement produce correlazioni che sono molto più ricche e probabilmente molto più difficili per un algoritmo classico da imitare in modo efficiente.

Il prossimo

Ora sappiamo come manipolare i qubit con operazioni unitarie. Ma per coloro che sono interessati agli algoritmi quantistici, dovremmo prima sapere qual è la limitazione. Altrimenti, potresti trascurare ciò che è difficile nell'informatica quantistica. Ma per quelli che vogliono sapere di più sul gate quantico, puoi leggere il secondo articolo prima del primo.