La natura dell'infinito - e oltre

Un'introduzione a Georg Cantor e al suo paradiso transfinito

Georg Cantor (a sinistra) e la sua leggendaria pubblicazione del 1874 “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” nel Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (1874).

Georg Cantor ha mostrato una marcata tendenza artistica da bambino ed è stato riferito come un violinista eccezionale. Il suo cognome "Cantor" in latino significa "cantante" o "musicista". Quando nel 1867 - all'età di 22 anni - completò la sua tesi di dottorato all'Università di Berlino, la nominò In re matematica ars propendi pluris facienda est quam solvendi che in inglese recita “In matematica, l'arte di porre domande è più preziosa che risolvere i problemi ”. In seguito noto come un pensatore leggendariamente profondo, Cantor sarebbe cresciuto fino a diventare l'uomo che osava porre e rispondere a una delle domande più profonde e fondamentali di tutte:

Quanto è grande l'infinito?

Comunemente senza risposta, Cantor negli anni 1870, 80 e 90 introdusse nuove idee radicali sulla risposta a questa domanda che stabilirono la teoria degli insiemi come una nuova branca della matematica pura. Questo articolo spera di farvi conoscere il suo lavoro più notevole e le sue implicazioni.

Primi anni di vita (1845-1869)

Georg Cantor fu in un certo senso fortunato ad essere nato quando era, a San Pietroburgo, il 3 marzo 1845. I suoi genitori erano danesi. Sua madre Marie (nome di famiglia Meyer) proveniva da una famiglia di musicisti di origini russe e suo padre Georg Woldemar era un uomo d'affari di grande successo, dapprima come agente di commercio all'ingrosso a San Pietroburgo, e successivamente come mediatore nel mercato azionario della città.

Il padre e la madre di Cantor, G.W. e Marie Cantor

Cantor fu fortemente influenzato da suo padre, un uomo di grandi interessi culturali e filosofici che durante gli anni scolastici e universitari di suo figlio gli avrebbe fornito consigli molto significativi sulla sua vita e carriera. Tuttavia, secondo alcuni resoconti, nonostante riconoscesse le capacità matematiche di suo figlio, tenterebbe ostinatamente di costringere suo figlio a dedicarsi all'ingegneria come una professione più promettente della matematica.

Istruzione (1860-69)

I voti di Cantor all'età di 8 anni, quando ha frequentato la St.Petri-Schule per persone di lingua tedesca a San Pietroburgo.

La carriera scolastica di Cantor fu come quella di molti matematici altamente dotati: un riconoscimento precoce del suo talento (prima dei quindici anni) e un interesse assorbente nei suoi studi. Già a San Pietroburgo, Cantor ha ricevuto lezioni private di tutoraggio. In Germania, ha frequentato per la prima volta una scuola privata a Francoforte presso la scuola non classica di Darmstadt, prima di entrare nel Palestra di Wiesbaden nel 1860. Si è laureato con lode al Realschule di Darmstadt e nel 1862 ha iniziato gli studi universitari presso la Höheren Gewerbschule dove ha studiato ingegneria per due anni prima del trasferimento al Politecnico federale svizzero (ETH Zurigo) per perseguire la matematica. Dopo la morte di suo padre a causa della tubercolosi l'anno successivo, ricevette un'eredità sostanziale (mezzo milione di marchi) e trasferì i suoi studi all'Università di Berlino.

Università Humboldt di Berlino nel 1850 (poi Università Friedrich Wilhelm)

A Berlino Cantor ha assistito alle conferenze di Ernst Kummer, Leopold Kronecker e Karl Weierstrass, il cui interesse per l'aritmetica ha esercitato una forte influenza sul suo primo lavoro. Nel 1866, trascorse il semestre estivo all'Università di Gottinga, a quel tempo la capitale mondiale del pensiero matematico. Sia la sua tesi "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" nel 1867 che la sua abilitazione "De transformatione formarum ternariarum quadraticarum" nel 1869 riguardavano la teoria dei numeri, in particolare un problema eccezionale lasciato dalle disquisizioni di Gauss sulle aritmetichee riguardanti le soluzioni all'equazione diofantina indeterminata ax² + per² + cz² = 0, noto anche come equazione di Legendre.

Georg Cantor intorno al 1870

Sebbene lodato come docta et ingeniosa ("colto e intelligente") la sua "dissertazione severamente classica", la sua età nonostante non ha dato alcun indizio particolare del genio che doveva venire. Ha superato l'esame orale con lode. Dopo aver ricevuto il suo dottorato di ricerca. lasciò Berlino per assumere una posizione come Privatdozent (un docente che vive delle tasse che può raccogliere dai suoi studenti) alla Halle University, in sostituzione del suo amico K.H.A. Schwartz (che andò a Zurigo) e assunse il lavoro sotto Eduard Heine, il professore di matematica lì.

All'inizio della carriera (1870-1873)

Alcuni hanno sostenuto che gli antecedenti del lavoro pionieristico successivo di Cantor possono essere fatti risalire fino alle sue prime pubblicazioni post-laurea. In effetti, nella ricerca di Cantor dedicata alla teoria delle serie trigonometriche, si possono effettivamente trovare tracce del suo primo interesse nel "continuum". In seguito alle influenze di Weierstrass a Berlino e di Heine ad Halle, il primo articolo di Cantor Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz ("Su un teorema relativo alla serie trigonometrica") fu completato per la pubblicazione nel marzo del 1870 e posizionato per "far progredire la comprensione di le proprietà di convergenza della rappresentazione di una funzione data arbitrariamente per mezzo di infinite serie trigonometriche ”. A partire dalla serie trigonometrica e dal lavoro sulle funzioni di una variabile complessa svolto da Riemann, Cantor nel documento ha mostrato il seguente teorema:

Teorema di unicità di Cantor (1870): ogni funzione f: ℝ → ℝ può avere al massimo una rappresentazione di una serie trigonometrica.

Se una funzione f (x) è rappresentata da una serie trigonometrica che è convergente per tutte le x, tale rappresentazione è unica. Nel 1871, rafforzò il risultato, dimostrando che l'unicità vale anche se la serie diverge in un numero finito di punti in un dato intervallo. Questo risultato era stato precedentemente tentato da molte delle più grandi menti dell'epoca, tra cui Heine, Peter Dirichlet e Bernhard Riemann, che fino a quel momento erano stati in grado di dimostrare che ciò avveniva solo in determinate circostanze limitate.

Il suo prossimo articolo, pubblicato nel 1872, estese ulteriormente il risultato. L'articolo, Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen ("Sulla generalizzazione di un teorema dalla teoria delle serie trigonometriche") fornisce una definizione di un limite di un punto P impostato come qualsiasi punto tale che ogni la vicinanza del punto contiene infiniti punti di P. La prima derivata di P (indicata con P ') è l'insieme di tutti i punti di confine di P, la seconda derivata P' 'è l'insieme di tutti i punti di confine di P', e così sopra. Questa definizione ha gettato le basi per la topologia puntuale, successivamente ampliata in particolare da Felix Hausdorff, Émile Borel e Maurice René Fréchet. Cantor ha usato la definizione per migliorare il suo teorema di unicità, dimostrando che il teorema vale anche se la serie trigonometrica diverge in un numero infinito di punti, a condizione che l'insieme di punti sia di ordine finito (un insieme di punti P è di ordine finito se , per qualche numero intero n, l'ennesima derivata P di P è un insieme finito).

Visto in retrospettiva, l'articolo collega le prime opere di Cantor in analisi con quello che ora è considerato il suo lavoro più importante sullo studio di insiemi transfiniti, ad esempio nel suo focus su insiemi di punti infiniti e la definizione di numeri reali che fornisce:

Definizione di Cantor di numeri reali ℝ (1872): un numero reale è una serie infinita di numeri razionali:
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
tale che per ogni dato ε esiste un u tale che per u ≥ u₁ e per qualsiasi numero intero positivo v, | aᵤ₊ᵥ - aᵤ | <ε.

Nel documento, Cantor discute questa definizione e la confronta con quelle precedentemente fornite dai suoi ex e attuali mentori, Weierstrass a Berlino e Heine ad Halle. I risultati si aggiunsero al suo precedente lavoro e furono sufficienti per promuovere Cantor come professore associato (professore associato) alla Halle University nel 1872.

Corrispondenza con Richard Dedekind (1872-1873)

Più tardi nello stesso anno, Cantor incontrò per la prima volta Richard Dedekind, che a quel punto era professore di matematica alla Technische Hochschule di Brunswick. Dedekind aveva precedentemente pubblicato un articolo che forniva un'analisi assiomatica della struttura dell'insieme dei numeri reali ℝ. La sua definizione era dei numeri reali come un campo completo e ordinato. Cantor e Dedekind si scambiarono lettere per un periodo di molti anni. Le parti matematiche delle loro lettere furono successivamente pubblicate da Noether e Cavailleès (1937) e ora sono conservate all'Università di Evansville in Indiana.

Il 29 novembre 1873 Cantor inviò una lettera a Dedekind chiedendo se la raccolta di numeri naturali e la raccolta di numeri reali positivi "possano essere corrispondenti in modo che ogni individuo di una raccolta corrisponda a uno e solo un individuo dell'altro?" a cui Dedekind rispose scrivendo di non conoscere la risposta, aggiungendo tuttavia che la domanda non era di grande interesse pratico. A questo punto, sembra che Cantor fosse d'accordo con questa tesi, affermando che il suo interesse per la questione era legato al teorema di Joseph Liouville del 1844 che dimostra l'esistenza di numeri trascendentali:

Halle, 2 dicembre 1873
Sono stato eccezionalmente lieto di ricevere la tua risposta alla mia ultima lettera. Ti ho posto la domanda perché me ne ero chiesto già diversi anni fa, e non ero mai sicuro se la difficoltà che ho riscontrato fosse soggettiva o se fosse inerente all'argomento. Dal momento che scrivi che anche tu non sei in grado di rispondere, posso ipotizzare quest'ultimo. Inoltre, vorrei aggiungere che non me ne sono mai occupata seriamente, perché non ha alcun interesse pratico speciale per me. E sono pienamente d'accordo con te quando dici che per questo motivo non merita molto sforzo. Ma sarebbe positivo se si potesse rispondere; per esempio. se si potesse rispondere senza, allora si avrebbe una nuova prova del teorema di Liouville secondo cui ci sono numeri trascendentali.
- G. Cantor

Dalla lettera successiva di Cantor pochi giorni dopo, tuttavia, sembra chiaro che il suo interesse per l'argomento non era tanto fugace come aveva espresso a Dedekind, sebbene in questo momento non delinei implicazioni particolarmente importanti:

Halle, 7 dicembre 1873
".. Negli ultimi giorni ho avuto il tempo di approfondire le congetture di cui ti ho parlato; solo oggi credo di aver finito con la cosa; ma se dovessi ingannarmi, non dovrei certamente trovare giudice più indulgente di te. "

Nella lettera, Cantor procede quindi con la prima bozza di una prova del perché i numeri reali non possono essere messi in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali. Non due giorni dopo, invia a Dedekind una prova rivista e più semplice, insieme alle sue scuse per aver occupato il suo tempo con la questione:

Halle, 9 dicembre 1873
Ho già trovato una dimostrazione semplificata del teorema appena dimostrato, in modo che la scomposizione della sequenza in (1), (2), (3), ... non sia più necessaria. Lo mostro direttamente se inizio con una sequenza
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
quindi in ogni dato intervallo (α ... β) posso determinare un numero η che non è contenuto in (i). Da ciò segue subito che la totalità (x) non può essere correlata one-to-one con la totalità (u); e deduco che esistono differenze essenziali tra totalità e serie di valori che fino a poco tempo fa non ero in grado di capire.
Ora devo chiederti perdono per aver dedicato così tanto tempo a questa domanda. Confermando la ricezione delle tue amichevoli linee dell'8 dicembre, permettimi di assicurarti che nulla può darmi più piacere di essere stato abbastanza fortunato da suscitare in te l'interesse per certe domande di analisi.
- G. Cantor

Le note di Dedekind del periodo chiariscono la cronologia degli eventi:

Brunswick, 7 dicembre 1873
Cantor mi comunica una prova rigorosa, trovata nello stesso giorno, del teorema secondo cui la totalità di tutti i numeri positivi ω <1 non può essere correlata uno a uno con la totalità (n).
Ho risposto a questa lettera, ricevuta l'8 dicembre, lo stesso giorno con le congratulazioni per l'ottimo successo. Allo stesso tempo, riformulo molto più semplicemente il nucleo della dimostrazione (che era ancora piuttosto complicato).
- Richard Dedekind

Insiemistica

Descritto dall'enciclopedia della filosofia di Stanford come "uno dei più grandi successi della matematica moderna", la teoria degli insiemi è ampiamente riconosciuta come fondata dall'articolo risultante dal lavoro svolto da Cantor nel periodo 1873-1884. In particolare, le origini della teoria degli insiemi risalgono a un singolo articolo pubblicato nel 1874 da Cantor, intitolato Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, ("In una proprietà della raccolta di tutti i numeri algebrici reali"). Il risultato fondamentale e più consequenziale che presenta è l'incountabilità dei numeri reali e, di conseguenza, l'invenzione di una distinzione tra numeri che appartengono al "continuum" e quelli che appartengono a "una raccolta come la totalità dei numeri algebrici reali" . L'articolo è apparso sul Journal für die reine und angewandte Mathematik ("Crelle’s Journal") poco prima che Cantor compisse 30 anni. Mentre scriveva a Dedekind circa due settimane dopo essere arrivato alla sua prova:

Berlino, 25 dicembre 1873
".. Anche se non volevo ancora pubblicare l'argomento di cui recentemente ho discusso per la prima volta con te, sono stato comunque inaspettatamente indotto a farlo. Ho comunicato i miei risultati a Herr Weierstrass il 22; tuttavia, non c'era tempo per entrare nei dettagli, già il 23 ho avuto il piacere di una sua visita, in cui ho potuto comunicargli le prove. Era dell'opinione che avrei dovuto pubblicare la cosa almeno nella parte in cui riguardava l'algebra Quindi ho scritto un breve articolo con il titolo: Su una proprietà dell'insieme di tutti i numeri algebrici reali e l'ho inviato al Professor Borchardt per essere considerato per il Journal fur Math.
Come vedrai, i tuoi commenti (che apprezzo molto) e il tuo modo di esprimere alcuni punti mi sono stati di grande aiuto ".
- G. Cantor

In cinque brevi pagine, l'articolo di Cantor presenta tre importanti risultati:

  1. L'insieme dei numeri algebrici reali è numerabile; e
  2. In ogni intervallo [a, b] ci sono infiniti numeri non inclusi in nessuna sequenza; e di conseguenza quello
  3. L'insieme dei numeri reali è infinitamente numeroso;

Il resto di questo articolo è dedicato alla spiegazione delle implicazioni del terzo risultato, sulla pluralità dei numeri reali. Per questo, iniziamo con alcuni concetti fondamentali.

Cos'è un set?

"Un set è un Molti che si lascia pensare come Uno" - Georg Cantor

Un set è una raccolta di elementi. L'insieme costituito dai numeri 3,4 e 5 è indicato con {3, 4, 5}. Per set più grandi e per semplicità, viene spesso usata un'ellissi se il lettore può facilmente indovinare quali sono gli elementi mancanti. La definizione originale di Cantor di "aggregato" (set), tradotta, è stata la seguente:

Definizione di Cantor di un insieme
Con un set dobbiamo comprendere qualsiasi collezione in una intera M di oggetti definiti e separati m della nostra intuizione o del nostro pensiero. Questi oggetti sono chiamati "elementi" di M.

numerabilità

Un insieme numerabile è un insieme con la stessa cardinalità (numero di elementi) di alcuni sottoinsiemi dell'insieme di numeri naturali.

La proprietà della numerabilità è importante nella teoria degli insiemi. Un'interpretazione intuitiva della numerabilità è "listability", che gli elementi di un set possono essere scritti in un elenco. L'insieme intrinsecamente numerabile è i numeri naturali ℕ, in quanto gli elementi di ℕ sono i numeri contatori stessi (1,2,3, ...). Come sappiamo, sono in numero infinito e così definiti "numerabili infiniti", o "denumerabili". Per altri insiemi, formalmente, affermando che un insieme è numerabile si intende che gli elementi dell'insieme possono essere messi in corrispondenza uno a uno con elementi dell'insieme di numeri naturali ℕ, vale a dire che:

Set numerabili
Un insieme S è numerabile se esiste una funzione iniettiva f da S ai numeri naturali ℕ = {1,2,3, ...}. Se si trova una tale f che è anche suriettiva (e quindi biiettiva), allora S viene chiamato un insieme numerabile infinito, o denumerabile.
Ad esempio, per l'insieme dei numeri pari (2n | n ∈ ℕ):
    2 4 6 8 10 ... 2n
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 ... n
Vediamo che gli elementi dei due insiemi possono essere messi in corrispondenza uno a uno con l'altro, e quindi possiamo determinare che anche l'insieme di numeri pari è numerabile.

La proprietà di numerabilità consente di confrontare insiemi in termini di numero di elementi che contengono senza contare effettivamente nulla, e in questo modo fare inferenze sulle dimensioni relative di insiemi sia finiti che infiniti. Per ragioni pratiche, illustriamo il caso finito immaginando un'aula con 100 posti a sedere. Riempito con gli studenti, si può fare una deduzione sulla dimensione del gruppo di studenti in relazione alla dimensione del gruppo di posti. Se i posti sono liberi, il gruppo di posti è più grande del gruppo di studenti. Se non ci sono posti liberi e alcuni studenti sono in piedi, la dimensione del gruppo di studenti è maggiore di quella dei posti e così via.

La numerabilità dei numeri razionali (1873)

La prima indagine pubblicata da Cantor sulla numerabilità dei set avvenne nel 1873 quando dimostrò che i numeri razionali ℚ (frazioni / rapporti) sono numerabili. La sua prova piuttosto elegante e intuitiva è stata la seguente:

Prova della numerabilità dei numeri razionali ℚ
Proponiamo innanzitutto che l'insieme dei numeri razionali ℚ sia numerabile. Per provare questa affermazione, disponiamo tutti i numeri razionali (rapporti dei numeri naturali) in una tabella infinita come tale:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
... ... ... ... ...
Successivamente, iniziando nell'angolo in alto a sinistra, spostati attraverso le diagonali da sinistra a destra a 45 gradi, iniziando con 1/1, quindi 1/2 e 2/1, quindi 3/1, 2/2 e 1/3 e così via sopra. Annota ogni nuovo numero che incontri. Otterrai il seguente ordine:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ...
 1 2 3 4 5 ...
Che non è solo una buona ordinazione, ma anche in una corrispondenza uno-a-uno con i numeri naturali nel loro ordine naturale. Ciò dimostra la numerabilità dei numeri razionali ℚ.

La numerabilità dei numeri algebrici reali (1874)

Un anno dopo, nel suo articolo del 1884, Cantor mostrò che i numeri algebrici reali sono numerabili. I numeri algebrici reali sono numeri reali ω che soddisfano le equazioni della forma: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0. Vale a dire, i numeri algebrici reali sono radici di polinomi reali diversi da zero. Sono numerabili, ovvero:

La numerabilità dei numeri algebrici reali
La raccolta di tutti i reali algebrici può essere scritta come una sequenza infinita.

Cantor lo mostrò nel suo documento del 1874 con la seguente prova:

Proof of the Countability of Real Algebraic Numbers (1874)
Per ogni equazione polinomiale della forma

   aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0
con coefficienti interi a, definisci il suo indice come la somma dei valori assoluti dei coefficienti più il grado dell'equazione:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
L'unica equazione dell'indice 2 è ω = 0, quindi la sua soluzione, 0, è il primo numero algebrico. Le quattro equazioni dell'indice 3 sono 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 e x2 = 0. Hanno radici 0, –1, 1, quindi ha incluso i nuovi valori –1 e 1 come seconda e terza voce nel suo elenco di numeri algebrici.
Si noti che per ogni indice ci sono solo finitamente molte equazioni e che ogni equazione ha solo finitamente molte radici. Elencando le nuove radici per ordine di indice e aumentando la magnitudine all'interno di ciascun indice, si stabilisce un metodo sistematico per elencare tutti i numeri algebrici. Come per i razionali, la corrispondenza uno-a-uno con i numeri naturali ha dimostrato che l'insieme dei numeri algebrici deve essere numerabilmente infinito.

The Uncountability of Real Numbers (1874)

L'uso più fruttuoso della numerabilità di Cantor come concetto si è verificato nel terzo risultato del suo documento del 1874 quando ha dimostrato l'incountabilità dei numeri reali - il primo set ha dimostrato di non avere questa proprietà. Un numero reale ℝ è un valore di una quantità continua che può rappresentare una distanza lungo una linea. Qualsiasi numero reale può essere determinato da una rappresentazione decimale eventualmente infinita, come quella di es. 8.632, 0.00001, 10.1 e così via, dove ogni cifra consecutiva viene misurata in unità un decimo della dimensione della precedente. L'affermazione che i numeri reali non sono numerabili è equivalente all'affermazione:

L'incountabilità dei numeri reali
Data qualsiasi sequenza di numeri reali e qualsiasi intervallo [α ... β], si può determinare un numero η in [α ... β] che non appartiene alla sequenza. Quindi, si possono determinare infiniti numeri come η in [α ... β].

Come abbiamo visto dai suoi scambi di lettere con Dedekind nel 1873, sappiamo come Cantor ha lavorato per il risultato importante. La sua prova originale (la prima prova di non numerabilità di Cantor) è stata la seguente, ed è basata sul teorema di Bolzano-Weierstrass:

Prova dell'Incountability dei numeri reali ℝ (1874)
Supponiamo di avere una sequenza infinita di numeri reali,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
dove la sequenza è generata secondo qualsiasi legge e i numeri sono distinti l'uno dall'altro. Quindi in un dato intervallo (α ... β) un numero η (e di conseguenza infinitamente molti di questi numeri) può essere determinato in modo tale che non si verifichi nella serie (i).
Per dimostrarlo, andiamo alla fine dell'intervallo [α ... β], che ci è stato dato arbitrariamente e in cui α <β. I primi due numeri della nostra sequenza (i) che si trovano all'interno di questo intervallo (ad eccezione dei confini), possono essere designati da α ', β', lasciando α '<β'. Allo stesso modo, designiamo i primi due numeri della nostra sequenza che si trovano all'interno di (α '... β') di α ", β" e lasciamo α "<β". Allo stesso modo, costruisci l'intervallo successivo e così via.
Qui, quindi, α ', α "... sono per definizione numeri determinati della nostra sequenza (i), i cui indici sono in costante aumento. Lo stesso vale per la sequenza β', β", ...; Inoltre, i numeri α ', α "... aumentano sempre di dimensione, mentre i numeri β', β", ... diminuiscono sempre di dimensione. Degli intervalli [α ... β], [α '... β'], [α "... β"], .... ognuno racchiude tutti quelli che seguono. Qui, sono concepibili solo due casi.
Nel primo caso, il numero di intervalli così formati è finito. In questo caso, lascia che sia l'ultimo (αᵛ ... βᵛ). Poiché il suo interno può essere al massimo un numero della sequenza (i), un numero η può essere scelto da questo intervallo che non è contenuto in (i), dimostrando così il teorema.
Nel secondo caso, il numero di intervalli costruiti è infinito. Quindi, poiché aumentano sempre di dimensioni senza crescere nell'infinito, i numeri α, α ', α ", ... hanno un determinato valore limite αʷ. Lo stesso vale per i numeri β, β', β",. .. perché diminuiscono sempre di dimensioni. Lascia che il loro valore limite sia βʷ. Se αʷ = βʷ, allora ci si convince facilmente, se si guarda indietro alla definizione degli intervalli che il numero η = αʷ = βʷ non può essere contenuto nella nostra sequenza (i). Tuttavia, se αʷ <βʷ, allora ogni numero η all'interno dell'intervallo [αʷ ... βʷ] così come i suoi confini soddisfa il requisito che non è contenuto nella sequenza (i).

Argomento diagonale di Cantor (1891)

Cantor diciassette anni dopo fornì una prova più semplice usando quella che è diventata nota come l'argomentazione diagonale di Cantor, pubblicata per la prima volta in un articolo del 1891 intitolato Über eine elementere Frage der Mannigfaltigkeitslehre ("Su una questione elementare della teoria del collettore"). Lo includo qui per la sua eleganza e semplicità. Generalizzato, l'argomento ormai famoso è il seguente:

Prova: argomento diagonale di Cantor (1891)
Nel suo articolo, Cantor considera l'insieme M di tutte le sequenze infinite dei numeri binari m e w. Sequenze come:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...),
E₂ = (w, w, w, w, w, ...),
E₃ = (m, w, m, w, m, ...),
E₄ = (w, m, w, m, w, ...),
E₅ = (m, m, w, w, m, ...)
Cantor afferma che esiste un insieme M che non ha il "respiro" della serie E₁, E₂, E₃…, il che significa che M ha una dimensione diversa dalla somma di ciascuna sequenza En, vale a dire che anche se M è costruito da tutto le infinite sequenze dei numeri binari m e w, può sempre costruire una nuova sequenza E₀ che "è sia un elemento di M che non è un elemento di M."
La nuova sequenza E₀ è costruita usando i complementi di una cifra per ogni sequenza E₁, E₂, ... En. Un complemento di un numero binario è definito come il valore ottenuto invertendo i bit nella rappresentazione del numero (scambiando m con w e viceversa). Quindi, la nuova sequenza è composta dal complemento della prima cifra dalla sequenza E₁ (m), dal complemento della seconda cifra dalla sequenza E₂ (w), dal complemento della terza cifra dalla sequenza E₃ (m) e così via, infine, il complemento dell'ennesima cifra della sequenza En. Dalle sequenze di esempio precedenti, la nuova sequenza E₀ sarebbe quindi:
E₀ = (w, m, w, w, w, ...)
Per la sua costruzione, E₀ differisce da ogni sequenza En poiché differiscono per l'ennesima cifra. Quindi, E₀ non può essere una delle sequenze infinite nell'insieme M.

Applicato per dimostrare l'incountabilità dei numeri reali ℝ:

Prova dell'Incountability dei numeri reali ℝ
Questa dimostrazione è per contraddizione, cioè supponiamo che i numeri reali ℝ siano numerabili e ne derivino una contraddizione. Se i reali sono numerabili, potrebbero essere elencati:
1. 657.853260 ...
2. 2.313333 ...
3. 3.141592 ...
4. .000307 ...
5. 49.494949 ...
6. .873257 ...
...
Per ottenere una contraddizione, è sufficiente dimostrare che esiste un vero α che manca nella lista. La costruzione di tale α funziona rendendo la sua prima cifra decimale diversa dalla prima cifra decimale del primo numero dell'elenco, rendendo la seconda cifra decimale diversa dalla seconda cifra decimale del secondo numero, e in generale rendendo la ennesima cifra decimale diversa dall'ennesima cifra decimale dell'ennesimo numero nell'elenco.
Ancora più semplice, per il nostro α realizzeremo l'ennesimo decimale 1 a meno che non sia già 1, nel qual caso lo renderemo 2. Con questo processo, per il nostro esempio di elenco di numeri, otteniamo:
α = .122111 ...
Che, per costruzione, non può essere un membro dell'elenco che abbiamo creato. E così, per contraddizione, il nostro elenco di tutti i reali non può contenere tutti i numeri, e quindi deve essere numerabile.

Le conclusioni di entrambe le prove (1874 e 1891) sono le stesse - anche se sia i numeri naturali che i numeri reali sono infiniti e quindi vanno avanti all'infinito, non ci sono abbastanza numeri naturali per creare uno a uno corrispondenza tra loro e i numeri reali. La brillante scoperta di Cantor, in altre parole, ha dimostrato rigorosamente che l'infinito ha dimensioni diverse, alcune delle quali sono più grandi di altre.

Ci sono più numeri reali di quanti siano i numeri naturali.

Dalla corrispondenza di Cantor con Dedekind intorno al momento della presentazione della prova originale nel 1874, sembra chiaro che stesse già meditando su questa particolare implicazione del risultato, sebbene da documenti noti non sembra dichiararlo esplicitamente Dedekind. Tuttavia vediamo tracce della sua mente brillantemente creativa e in discussione nelle sue lettere dello stesso tempo, come in questo estratto del gennaio del 1874 sulle dimensioni di insiemi di dimensioni diverse:

Halle, 5 gennaio 1874
"..Può una superficie (ad esempio un quadrato che include il confine) essere riferita in modo univoco a una linea (ad esempio un segmento di linea retta che include i punti finali) in modo che per ogni punto sulla superficie vi sia un punto corrispondente della linea e al contrario, per ogni punto della linea esiste un punto corrispondente della superficie? Mi sembra ancora al momento che la risposta a questa domanda sia molto difficile - anche se anche qui uno è così spinto a dire di no che vorrebbe per avere la prova di essere quasi superfluo ".
- G. Cantor

Quando Dedekind non risponde direttamente alla proposta, Cantor ripete l'indagine qualche settimana dopo, indicando la sua consapevolezza delle implicazioni significative che ha:

Halle, 28 gennaio 1874
"..Quando sei pronto a rispondermi, dovrei essere grato di sapere se hai avuto la mia stessa difficoltà a rispondere alla domanda che ti ho inviato a gennaio sulla correlazione di una linea e una superficie, o se sto ingannando me stesso. A Berlino un amico a cui ho presentato lo stesso problema mi ha detto che l'argomento era alquanto assurdo, perché è evidente che due variabili indipendenti non possono essere ridotte a una ".
- G. Cantor

Da ciò che possiamo dedurre da documenti noti, sarebbero passati tre anni prima che Dedekind e Cantor parlassero nuovamente sull'argomento. Dalle sue lettere, è chiaro che la raffinatezza di Cantor sull'argomento della corrispondenza individuale tra insiemi infiniti a questo punto è cresciuta e che la sua comprensione delle sue implicazioni nel 1877 è molto più profonda di prima:

Halle, 20 giugno 1877
"... Vorrei sapere se consideri una procedura di inferenza che uso aritmeticamente rigorosa.
Il problema è mostrare che superfici, corpi e persino strutture continue di dimensioni p possono essere correlate una a una con linee continue, cioè con strutture di una sola dimensione, in modo che superfici, corpi e persino strutture continue di dimensioni p hanno lo stesso potere delle curve. Questa idea sembra essere in conflitto con quella che è particolarmente diffusa tra i rappresentanti della geometria moderna, che parlano semplicemente di infinito, doppiamente, triplicamente. . . piega infinitamente le strutture. (A volte trovi persino l'idea che l'infinito di punti di una superficie o di un corpo sia ottenuto mentre quadrava o cubava l'infinito di punti di una linea.) "
- G. Cantor

Set infiniti

“Protesto contro l'uso della grandezza infinita come qualcosa di completato, che non è mai consentito in matematica. L'infinito è semplicemente un modo di parlare ”.
- C. F. Gauss, 1831

Gli elementi di tutti i set che abbiamo incontrato finora sono stati in numero infinito, il che significa che vanno avanti per sempre. Tuttavia, abbiamo anche dimostrato che uno di loro non ha le stesse "dimensioni", o almeno, che non può essere inserito in una corrispondenza uno a uno con i numeri naturali. Forse ancora più paradossalmente, abbiamo visto che un sottoinsieme infinito (ad esempio i numeri pari) di un insieme infinito (i numeri naturali) può essere messo in corrispondenza uno a uno, dando origine a una proprietà peculiare di insiemi infiniti, vale a dire quello:

Definizione di un insieme infinito
Un set A è infinito se, e solo se, esiste una corrispondenza uno a uno tra A e un set X che è un sottoinsieme proprio di A.

Questa proprietà, coniata da Dedekind, sembra paradossale data l'intuizione intuitiva che ci devono sempre essere più elementi in un insieme che in alcune parti di esso (la cosiddetta Nozione Comune 5 di Euclide). Significa che se due insiemi infiniti contengono lo stesso numero di elementi in presenza di:

  1. Corrispondenza individuale: e
  2. La dimensione di ogni intero deve essere maggiore di quella di una qualsiasi delle sue parti;

Quindi il numero di elementi in un insieme infinito non può essere considerato come una misura della sua dimensione. Suggerisce che gli elementi di un insieme infinito sono in un certo senso "senza numero", dato che non puoi mai contarli tutti, ma anche perché la nozione di un numero come misura delle dimensioni in questo regno ha poco senso - Tutto infinito gli insiemi sembrano emergere della stessa dimensione se si considera che la corrispondenza uno a uno indica l'identità in termini di dimensioni di un insieme.

numeri cardinali

Quindi, come si fa a studiare le proprietà e le differenze di insiemi infiniti? Dopo la sua scoperta del 1874 dell'esistenza su insiemi infiniti non numerabili, nel 1878 Cantor si rivolse a uno studio più generale di ciò che chiamava poteri, o numeri cardinali - lo studio delle dimensioni degli insiemi. La cardinalità dell'insieme A è generalmente indicata da | A |, a volte carta (A).

Definizione di Cantor dei numeri cardinali
Chiameremo "potere" o "numero cardinale" di M il concetto generale che, per mezzo della nostra facoltà di pensiero attiva, nasce dall'insieme M quando facciamo astrazione dalla natura dei suoi vari elementi m e del ordine in cui sono dati.

O, più semplicemente, i numeri cardinali sono una generalizzazione dei numeri naturali utilizzati per misurare la cardinalità (dimensione) degli insiemi. Usando la proprietà cardinalità, Cantor è stato in grado di rispondere formalmente alla domanda che ha ripetutamente posto a Dedekind, ovvero se un quadrato potesse essere mappato o meno su una linea con una corrispondenza uno-a-uno dei punti su ciascuno, vale a dire:

Teorema: l'insieme ℝ² di tutte le coppie ordinate di numeri reali (ovvero il piano reale) ha le stesse dimensioni di ℝ.

Il teorema è emerso dal documento di Cantor del 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Un contributo alla teoria multiforme") e può essere elegantemente dimostrato nel modo seguente / moderno (attribuito da Julius König):

Prova che | ℝ² | = | ℝ |
Basta dimostrare che l'insieme di tutte le coppie (x, y), 0 
x = 0,3 01 2 007 08 ...
y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Si noti che le cifre di xey sono state separate in gruppi andando sempre alla cifra successiva diversa da zero, incluso. Ora associamo a (x, y) il numero z ∈ (0,1] scrivendo il primo gruppo x, dopo quello il primo gruppo y, quindi il secondo gruppo x, e così via. Così, nel nostro ad esempio, otteniamo:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Poiché né x né y mostrano solo zeri da un certo punto in poi, troviamo che l'espressione per z è di nuovo un'espansione decimale non terminante. Viceversa, dall'espansione di z possiamo immediatamente leggere il preimage (x, y) e la mappa è biiettiva.

Quindi, sempre paradossalmente, il piano bidimensionale ℝ² può effettivamente essere mappato biiettivamente (con corrispondenza uno a uno) sulla linea unidimensionale ℝ. Induttivamente, possiamo estendere il risultato a dimensioni più elevate. La sua natura controintuitiva induce Cantor ad annunciare:

Halle, 29 giugno 1877
"..Si prega di scusare il mio zelo per l'argomento se faccio così tante richieste alla tua gentilezza e pazienza; le comunicazioni che ti ho inviato di recente sono anche per me così inaspettate, così nuove, che non posso avere la pace della mente fino a quando non ottengo da te, amico onorato, una decisione sulla loro correttezza. Fintanto che non avrai concordato con me, posso solo dire: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Lo vedo, ma non ci credo".

Numeri cardinali infiniti

Quando Cantor nel 1878 si rivolse quindi allo studio di infiniti numeri cardinali, era già a conoscenza dell'esistenza di due di questi "poteri" (Mächtigkeiten): set di punti (ad es. I numeri naturali) e continuum (ad es. Numeri reali). Nel suo documento del 1883 intitolato Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Fondamenti di una teoria generale dei collettori") introdusse una distinzione tra due infiniti, il transfinito e l'assoluto:

I numeri transfiniti sono numeri "infiniti", nel senso che sono più grandi di tutti i numeri finiti, ma non necessariamente assolutamente infiniti.

L'infinito assoluto Ω, anch'esso introdotto da Cantor, può essere pensato come un numero più grande di qualsiasi quantità concepibile o inconcepibile, sia finita che transfinita. I numeri transfiniti sono aumentabili in grandezza, mentre l'assoluto non è aumentabile. I particolari numeri transfiniti che aveva in mente erano quelli di cui è diventato consapevole attraverso i suoi studi sulla numerabilità di alcuni insiemi infiniti (ad esempio i numeri naturali) e l'incountabilità di altri insiemi (ad esempio i numeri reali). Ha etichettato le loro cardinalità ℵ₀ (aleph naught) e ℵ₁ (aleph one), rispettivamente, i primi due "ordini di infinito", entrambi più piccoli dell'infinito assoluto Ω.

The Continuum Hypothesis (1878)

Non ci sono numeri cardinali infiniti strettamente tra la cardinalità dei numeri naturali ℵ₀ e la cardinalità dei numeri reali ℵ₁.

Nessuna introduzione a Cantor sarebbe completa senza discutere della famigerata ipotesi che è diventata per sempre legata al suo lavoro di vita, l'ipotesi continua di Cantor (CH). Gran parte del suo lavoro sulla congettura è stato pubblicato nel trattato in sei parti Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten ("Su infinite e lineari varietà di punti") nella rivista Mathematische Annalen tra il 1879 e il 1884.

Georg Cantor (a sinistra) e il suo trattato in sei parti Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten sulla rivista Mathematische Annalen.

La sua prima apparizione, tuttavia, arrivò nel documento del 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Un contributo alla teoria multiforme"), dove afferma:

Si pone la questione di come le diverse parti di una linea retta continua, cioè le diverse infinite varietà di punti che possono essere concepite in essa, sono correlate rispetto ai loro poteri.
Cerchiamo di cedere questo problema della sua forma geometrica e di comprendere da una varietà lineare di numeri reali, ogni totalità concepibile di infiniti numeri reali distinti. Quindi sorgono le domande su quante e quali classi cadono le varietà lineari, se le varietà della stessa potenza sono poste nella stessa classe e le varietà di diversa potenza in classi diverse?
Con una procedura induttiva, la cui presentazione più esatta non verrà data qui, il teorema suggerisce che il numero di classi di varietà lineari che questo principio di ordinamento dà origine è finito, e in effetti è uguale a due.

Conosciamo i numeri cardinali 0, 1, 2,. . . e il numero infinito cardinale ℵ₀, e inoltre che la cardinalità dei numeri reali è maggiore di ℵ₀. La tesi di Cantor nella sua affermazione dell'ipotesi del continuum è che la cardinalità dei numeri reali è il prossimo numero transfinito dopo ℵ₀, cioè che

c = | ℝ | = ℵ₁

Ciò significa che nessun insieme può avere una cardinalità più grande di quella dei numeri naturali ℵ₀ e più piccola di c, e che c è la cardinalità dei numeri reali. ℵ₁ in questo senso si trova al di là di qualsiasi insieme numerabile di numeri cardinali diversi da se stesso, e può essere "raggiunto" solo sommando altri numeri cardinali con il potere di ℵ₁.

Tentativi di prova

Cantor ha trascorso molti dei restanti anni della sua vita a lottare fornendo una prova che l'ipotesi del continuum è vera. La sua strategia diretta era quella di usare gli insiemi derivati ​​P di un insieme di punti P per misurare la sua cardinalità. Come diceva Bertrand Russell:

A livello popolare, la prima derivata è costituita da tutti i punti nel cui vicinato viene accumulato un numero infinito di termini della raccolta; e i derivati ​​successivi danno, per così dire, diversi gradi di concentrazione in qualsiasi quartiere. Pertanto, è facile capire perché i derivati ​​siano rilevanti per la continuità; per essere continua, una raccolta deve essere il più concentrata possibile in ogni quartiere contenente qualsiasi termine della raccolta.

Poiché il processo di assunzione di derivati ​​non termina necessariamente dopo un numero infinitamente infinito di iterazioni, Cantor ha continuato il processo nel transfinito. Quando la strategia fallì, Cantor si rivolse alla sua cosiddetta "strategia indiretta", che è l'argomento principale del Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Fondamenti di una teoria generale degli aggregati") pubblicato nel 1883. La strategia si basava sulla sua teoria di poteri dei numeri cardinali, cioè sull'introduzione di una classe di numeri transfiniti che possono essere utilizzati per contare le dimensioni di qualsiasi insieme infinito. L'ipotesi del continuum verrebbe mostrata in questo sistema determinando dove si trova il potere del continuum sulla "scala" dei numeri transfiniti - che era il primo numero transfinito non numerabile.

Cantor avrebbe impiegato molti anni nel tentativo di risolvere l'ipotesi del continuum. Quando un giorno pensò di aver trovato una prova della sua verità, il giorno dopo aveva trovato una prova della sua falsità: poi di nuovo trovò una prova della sua verità solo per rendersi conto in seguito che tutte le sue prove erano state invalide.

Salute mentale

Cantor subì il suo primo grave crollo mentale nel maggio del 1884, dieci anni dopo la pubblicazione della sua prima prova dell'incountabilità dei numeri reali. La maggior parte degli storici ritiene che la rottura sia avvenuta a seguito di una disputa in corso tra Cantor e Leopold Kronecker all'Università di Berlino, unita all'apparente intrattabilità dell'ipotesi del continuum. Come possiamo leggere dalle lettere che Cantor ha inviato al matematico svedese Mittag-Leffler, la prima rottura di Cantor è avvenuta proprio mentre era tornato da un gioioso viaggio a Parigi dove ha incontrato, tra gli altri matematici, Henri Poincaré. Cantor scrive che gli piaceva molto Poincaré ed era felice di apprendere che il grande uomo aveva compreso la sua teoria degli insiemi transfiniti e le sue applicazioni. Inoltre, scrive che ha trascorso del tempo visitando gallerie e musei, dedicandosi al suo amore per l'opera e il teatro. Secondo quanto riferito, la rottura di Cantor si è verificata poco dopo il suo ritorno in Germania per occuparsi degli affari di famiglia.

Non sappiamo cosa abbia causato la rottura di Cantor. Arthur Schoenflies sostiene che l'amarezza di Cantor con la tremenda opposizione al suo lavoro, sostenuta dal suo ex professore Leopold Kronecker a Berlino, è stata la principale causa della sua angoscia. Kronecker, più di ogni altro matematico professionista all'epoca, era stato l'avversario più vocale delle idee di Cantor risalendo al libro di Cantor del 1874, di cui Cantor temeva che Kronecker avrebbe ritardato la pubblicazione, poiché aveva fatto uno degli articoli di Heine . A causa di queste preoccupazioni, su consiglio di Weierstrass, Cantor lasciò il suo teorema di non numerabilità dalla bozza iniziale dell'articolo e solo successivamente lo aggiunse durante la correzione come osservazione alla fine della sua introduzione. Inoltre, si dice che l'influenza di Kronecker abbia portato Cantor a utilizzare la versione di Dedekind della prova della numerabilità dei numeri reali, ma deliberatamente tralasciando il "principio di continuità" di Dedekind, che Kronecker non ha accettato. Secondo quanto riferito, ognuna delle 52 lettere Cantor inviò Mittag-Leffler nel 1884 menzionando Kronecker per nome.

Kronecker non era sostanzialmente d'accordo con la spinta del lavoro di Cantor sulla teoria degli insiemi perché, tra le altre ragioni, affermava l'esistenza di insiemi che soddisfacevano determinate proprietà senza fornire esempi di insiemi specifici i cui membri soddisfacevano tali proprietà. Kronecker ha anche ammesso concetti matematici solo se potevano essere costruiti in un numero finito di passi dai numeri naturali, che ha preso per un dato. Kronecker era stato il professore di Cantor a Berlino, e fino alla sua morte, avvenuta nel 1891, fino al suo decesso nel 1891. Ogni volta che Cantor faceva domanda per un posto a Berlino, veniva rifiutato, nonostante fosse diventato un nome rinomato nei circoli matematici. Le idee di Cantor, in diretta opposizione a Kroneckers, alla fine portano notoriamente quest'ultima a definire Cantor un "corruttore della giovinezza" che "deve essere fermato".

Anni finali

Dopo il suo ricovero nel 1884, non vi è alcuna notizia che Cantor sia stato ricoverato in un altro sanatorio fino al 1899. Quell'anno, suo figlio più giovane morì e secondo quanto riferito Cantor perse la sua passione per la matematica. Quando nel 1903 Julius König presentò un documento che tentava di confutare gli inquilini di base della teoria degli insiemi transfiniti, Cantor lo percepì come una grave umiliazione pubblica. Nonostante Ernst Zermelo dimostrasse l'invalidità del documento meno di un giorno dopo, Cantor rimase scosso e cominciò anche momentaneamente a mettere in discussione l'esistenza di Dio (Cantor era un devoto cristiano). Gli eventi hanno preceduto una serie di ricoveri supplementari a intervalli di due o tre anni.

Cantor nel 1917

Pur continuando a chiedere posizioni presso l'Università di Berlino, Cantor rimase all'Università di Halle fino alla sua morte. Ha trascorso gli ultimi 20 anni della sua vita in uno stato di depressione cronica, difendendo le sue idee controverse sulla teoria degli insiemi e la validità delle sue prove, principalmente contro le critiche di altri matematici in Germania. Cantor si ritirò nel 1913, vivendo in povertà e soffrendo di malnutrizione durante la prima guerra mondiale. Nel giugno 1917, entrò di nuovo in un sanatorio, dove alla fine morì di infarto il 6 gennaio 1918. Dalla sua ammissione finale fino alla sua morte, egli scrisse continuamente a sua moglie chiedendo di poter tornare a casa.

Paradiso perduto?

Nel 1900 il matematico tedesco David Hilbert identificò l'ipotesi del continuum come uno dei 23 problemi più significativi per plasmare il futuro della matematica nel 20 ° secolo. La sua previsione si è rivelata accurata, poiché i tentativi di altri matematici di provare o confutare la congettura di Cantor hanno portato ad alcuni dei lavori più profondi nella teoria degli insiemi finora.

Solo nel 1940 il logico austro-ungarico Kurt Gödel confermò la coerenza dell'ipotesi del continuum dimostrando che non poteva essere smentito dagli altri assiomi della teoria degli insiemi. Ventitre anni dopo, il matematico americano Paul Cohen stabilì la sua indipendenza dimostrando che l'ipotesi del continuum non poteva essere dimostrata dagli altri assiomi della teoria degli insiemi. In altre parole, hanno mostrato che l'affermazione c = ℵ₁ è indipendente dal sistema di assioma Zermelo – Fraenkel generalmente accettato come il fondamento più comune della matematica. La coerenza e l'indipendenza della congettura di Cantor significava che era possibile costruire validi modelli di teoria degli insiemi che soddisfacessero l'ipotesi del continuum e altri modelli che non lo fecero. La realizzazione dell'esistenza di questa e di altre affermazioni non dimostrabili ha cambiato la natura della matematica come disciplina rigorosa e logica, spingendo Hilbert nel 1926 a proclamare in difesa della teoria dell'insieme cantoriana:

"Dal paradiso, che Cantor ha creato per noi, nessuno può espellerci" - David Hilbert